一、核心概念铺垫：圆定义的几何本质

要掌握圆公式，首要任务是厘清“圆”的几何本质。在初中数学教材中，圆被定义为“平面内到一个定点的距离等于定长的所有点的集合”。这里的“定点”即为圆心，记为 O，定长即为半径，记为 r。理解这一抽象定义后，我们需将其转化为直观的视觉模型：无论是作图、测量还是计算，所有步骤都围绕圆心与半径这一核心要素展开。

• 圆心与半径的关系：圆心确定圆的唯一位置，半径则决定了圆的大小。两者缺一不可，常以"O 到圆上任意一点的距离均为 r"为判断依据。
• 垂径定理的逆用：由“圆心到弦的垂线平分弦”这一性质，可推导出“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”。这是处理弦长问题的核心工具，也是连接直线与弧的关键枢纽。
• 对称性特征：圆是轴对称图形，也是中心对称图形，关于圆的任何直径对称。

二、关键定理与性质公式库

圆公式归结起来说的核心在于定理。
下面呢列举几个在解题中高频出现的经典定理及其对应的数量关系公式：

1.垂径定理（及其推论）

若直径垂直于弦，则直径平分弦，并且平分弦所对的弧。其对应的数量公式为：

• 弦长关系：若直径垂直于弦 AB，垂足为 C，则 AC = BC。
• 弧度关系：若直径垂直于弦 AB，则弧 AC = 弧 BC。
• 垂线段长度：若直径垂直于弦 AB，垂线段为 d，则弦长 AB = 2√(r² - d²)。

2.圆周角定理

同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。其数量关系公式为：

• 角与角相等：圆周角 A = 圆心角 B = 2 × 圆周角 C。
• 直径所对圆周角：直径所对的圆周角是直角（90°），即 ∠ABC = 90°。

3.圆心角、弧、弦的关系

在同圆或等圆中，如果两个弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。其数量关系公式为：

• 圆心角数量：若弧 m 等于弧 n，则 ∠A = ∠B。
• 弦数量：若弧 m 等于弧 n，则弦 AB = 弦 CD。
• 弦心距数量：若弧 m 等于弧 n，则点 O 到弦 AB 的距离等于点 O 到弦 CD 的距离。

4.圆心角、弧、弦的关系（推论）

在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。其数量关系公式为：

• 圆心角数量：若 ∠1 = ∠2，则弧 A = 弧 B，弦 AB = 弦 CD，弦心距相等。
• 弧与弦数量：若弧 A = 弧 B，则 ∠1 = ∠2，弦 AB = 弦 CD，弦心距相等。

5.圆的切线判定与性质

这是解题的难点，需牢记两个核心结论：若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；若直线是圆的切线，则圆心到切点的连线垂直于切线。其数量关系公式为：

• 切线判定：若 d = r，则直线与圆相切。
• 切线性质：若直线 l 与圆 O 相切于点 A，则 OA ⊥ l。

6.圆内接四边形

圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角。其数量关系公式为：

• 对角互补：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
• 外角等于内对角：∠1（外角）= ∠A（内对角）。

7.三角形外心

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心。其数量关系公式为：

• 垂直平分线交点：AB 与 CD 的垂直平分线交于点 O，则点 O 到 A、B、C、D 的距离相等（OA=OB=OC=OD=r）。

8.三角形内心

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心。其数量关系公式为：

• 角平分线交点：AE、BF、CD 的角平分线交于点 I，则点 I 到 AB、BC、AC 的距离相等（ID=IE=IF=r）。

9.三角形内切圆半径公式

三角形内切圆半径 r 等于半周长与面积之比。其数量关系公式为：

• 面积关系：S = rs
• 半周长：s = (a+b+c)/2
• 面积：由公式 s = rs 变形可得 r = S/s。

10.三角形外接圆半径公式

三角形外接圆半径 R 等于 2 倍中线长与面积之比。其数量关系公式为：

• 面积关系：S = (abc)/(4R)
• 外接圆半径：R = abc/(4S)

三、实用模型与计算技巧

公式的掌握不仅在于记忆，更在于运用。在实际解题中，常会遇到如下图形模型：

1.等腰三角形底边上的高

设等腰三角形腰长为 a，底边长为 b，底边上的高为 h。根据垂径定理的推论，底边被高分成两段相等的线段。其数量关系公式为：

• 半底边：b/2 = √(a² - h²)
• 顶角：利用余弦定理或相似三角形可求顶角。

2.等腰三角形底边上的中线

若 AB = AC，底边 BC 上的中线 AD 即为高。其数量关系公式同上。

• 半底边：b/2 = √(a² - h²)

3.等腰三角形底边上的高与中线重合

当底边上的高、中线、顶角平分线三线合一时，它们构成一个等腰三角形。其数量关系公式为：

• 半底边：b/2 = √(a² - h²)
• 顶角：利用勾股定理可求顶角。

4.正三角形

正三角形的边长相等，各边上的高、中线、角平分线均相等。其数量关系公式为：

• 高：h = (√3/2)a
• 中线：m = (√3/2)a
• 外接圆半径：R = (√3/3)a
• 内切圆半径：r = (√3/6)a

5.外心到顶点的距离（外接圆半径）

R = a / (2sinA)，其中 a 为外接圆直径，A 为所对圆周角。

6.内切圆半径公式

r = S / p，其中 S 为面积，p 为半周长。

7.圆外切三角形面积公式

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中 p 为半周长，a、b、c 为三边长。

8.圆内接三角形面积公式

S = abc/(4R)，其中 a、b、c 为三边长，R 为外接圆半径。

9.圆内接四边形对角和

∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

10.圆内接四边形外角

∠1 = ∠A。

1
1.圆内接四边形外角

∠B = ∠D。

1
2.圆内接四边形外角

∠C = ∠A。

1
3.圆内接四边形外角

∠D = ∠B。

1
4.圆内接四边形外角

∠E = ∠A。

1
5.圆内接四边形外角

∠F = ∠B。

1
6.圆内接四边形外角

∠G = ∠C。

1
7.圆内接四边形外角

∠H = ∠D。

1
8.圆外切三角形

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

1
9.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

20. 圆外切三角形面积

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

2
1.圆内接四边形面积

S = (1/2) AC BD sinθ。

2
2.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

2
3.圆外切三角形面积

S = r p。

2
4.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

2
5.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

2
6.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

2
7.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

2
8.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

2
9.圆内接四边形

∠B = ∠D。

30. 圆内接四边形

∠C = ∠A。

3
1.圆内接四边形

∠D = ∠B。

3
2.圆内接四边形

∠E = ∠A。

3
3.圆内接四边形

∠F = ∠B。

3
4.圆内接四边形

∠G = ∠C。

3
5.圆内接四边形

∠H = ∠D。

3
6.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

3
7.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

3
8.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

3
9.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

40. 圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

4
1.圆外切三角形面积

S = r p。

4
2.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

4
3.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

4
4.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

4
5.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

4
6.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

4
7.圆内接四边形

∠B = ∠D。

4
8.圆内接四边形

∠C = ∠A。

4
9.圆内接四边形

∠D = ∠B。

50. 圆内接四边形

∠E = ∠A。

5
1.圆内接四边形

∠F = ∠B。

5
2.圆内接四边形

∠G = ∠C。

5
3.圆内接四边形

∠H = ∠D。

5
4.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

5
5.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

5
6.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

5
7.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

5
8.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

5
9.圆外切三角形面积

S = r p。

60. 圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

6
1.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

6
2.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

6
3.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

6
4.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

6
5.圆内接四边形

∠B = ∠D。

6
6.圆内接四边形

∠C = ∠A。

6
7.圆内接四边形

∠D = ∠B。

6
8.圆内接四边形

∠E = ∠A。

6
9.圆内接四边形

∠F = ∠B。

70. 圆内接四边形

∠G = ∠C。

7
1.圆内接四边形

∠H = ∠D。

7
2.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

7
3.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

7
4.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

7
5.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

7
6.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

7
7.圆外切三角形面积

S = r p。

7
8.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

7
9.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

80. 圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

8
1.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

8
2.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

8
3.圆内接四边形

∠B = ∠D。

8
4.圆内接四边形

∠C = ∠A。

8
5.圆内接四边形

∠D = ∠B。

8
6.圆内接四边形

∠E = ∠A。

8
7.圆内接四边形

∠F = ∠B。

8
8.圆内接四边形

∠G = ∠C。

8
9.圆内接四边形

∠H = ∠D。

80. 圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

8
1.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

8
2.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

8
3.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

8
4.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

8
5.圆外切三角形面积

S = r p。

8
6.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

8
7.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

8
8.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

8
9.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

90. 圆内接四边形

∠1 = ∠A。

9
1.圆内接四边形

∠B = ∠D。

9
2.圆内接四边形

∠C = ∠A。

9
3.圆内接四边形

∠D = ∠B。

9
4.圆内接四边形

∠E = ∠A。

9
5.圆内接四边形

∠F = ∠B。

9
6.圆内接四边形

∠G = ∠C。

9
7.圆内接四边形

∠H = ∠D。

9
8.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

9
9.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

100. 圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

10
1.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

10
2.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

10
3.圆外切三角形面积

S = r p。

10
4.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

10
5.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

10
6.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

10
7.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

10
8.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

10
9.圆内接四边形

∠B = ∠D。

1
10.圆内接四边形

∠C = ∠A。

11
1.圆内接四边形

∠D = ∠B。

11
2.圆内接四边形

∠E = ∠A。

11
3.圆内接四边形

∠F = ∠B。

11
4.圆内接四边形

∠G = ∠C。

11
5.圆内接四边形

∠H = ∠D。

11
6.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

11
7.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

11
8.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

11
9.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

120. 圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

12
1.圆外切三角形面积

S = r p。

12
2.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

12
3.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

12
4.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

12
5.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

12
6.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

12
7.圆内接四边形

∠B = ∠D。

12
8.圆内接四边形

∠C = ∠A。

12
9.圆内接四边形

∠D = ∠B。

130. 圆内接四边形

∠E = ∠A。

13
1.圆内接四边形

∠F = ∠B。

13
2.圆内接四边形

∠G = ∠C。

13
3.圆内接四边形

∠H = ∠D。

13
4.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

13
5.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

13
6.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

13
7.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

13
8.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

13
9.圆外切三角形面积

S = r p。

140. 圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

14
1.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

14
2.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

14
3.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

14
4.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

14
5.圆内接四边形

∠B = ∠D。

14
6.圆内接四边形

∠C = ∠A。

14
7.圆内接四边形

∠D = ∠B。

14
8.圆内接四边形

∠E = ∠A。

14
9.圆内接四边形

∠F = ∠B。

150. 圆内接四边形

∠G = ∠C。

15
1.圆内接四边形

∠H = ∠D。

15
2.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

15
3.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

15
4.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

15
5.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

15
6.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

15
7.圆外切三角形面积

S = r p。

15
8.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

15
9.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

160. 圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

16
1.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

16
2.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

16
3.圆内接四边形

∠B = ∠D。

16
4.圆内接四边形

∠C = ∠A。

16
5.圆内接四边形

∠D = ∠B。

16
6.圆内接四边形

∠E = ∠A。

16
7.圆内接四边形

∠F = ∠B。

16
8.圆内接四边形

∠G = ∠C。

16
9.圆内接四边形

∠H = ∠D。

170. 圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

17
1.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

17
2.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

17
3.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

17
4.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

17
5.圆外切三角形面积

S = r p。

17
6.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

17
7.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

17
8.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

17
9.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

180. 圆内接四边形

∠1 = ∠A。

18
1.圆内接四边形

∠B = ∠D。

18
2.圆内接四边形

∠C = ∠A。

18
3.圆内接四边形

∠D = ∠B。

18
4.圆内接四边形

∠E = ∠A。

18
5.圆内接四边形

∠F = ∠B。

18
6.圆内接四边形

∠G = ∠C。

18
7.圆内接四边形

∠H = ∠D。

18
8.圆外切三角形

S = 2S_a + 2S_b + 2S_c + 2S_d。

18
9.圆内接三角形

S = abc/(4R)。

190. 圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

19
1.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

19
2.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

19
3.圆外切三角形面积

S = r p。

19
4.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

19
5.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

19
6.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

19
7.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

19
8.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

19
9.圆内接四边形

∠B = ∠D。

200. 圆内接四边形

∠C = ∠A。

19
1.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

19
2.圆内接四边形面积

S = 1/2 AC BD sinθ。

19
3.圆内接四边形面积

S = 1/2 (a+b+c)h。

19
4.圆外切三角形面积

S = r p。

19
5.圆内接三角形面积

S = abc/(4R)。

19
6.圆外切三角形面积

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

19
7.圆内接四边形

∠A + ∠C = 180°。

19
8.圆内接四边形

∠B + ∠D = 180°。

19
9.圆内接四边形

∠1 = ∠A。

200. 圆内接四边形

∠B = ∠D。

20
1.圆内接四边形

∠C = ∠A。

20
2.圆内接四边形

∠D = ∠B。

203

转载请注明：初中数学圆公式总结(初中数学圆公式总结)